群論入門その２

はじめに

今回は色々な群について紹介します。前回より内容薄めです。

集合の表記

集合どうしの演算を以下のように定めます。
群Gの元$a,\ b$と部分集合$S,T$に対し

• $ST=${$st\ |s\in S,\ t\in T$ }
• $S^{-1}=${$s^{-1}\ |s\in S$ }
• $aSb=${$asb\ |s\in S$ }

中心化群・正規化群

群$G$の部分集合$S$に対し,
$Z(S)=${$x\in G\ |xsx^{-1}=s,\ ^\forall s\in S$ }を中心化群
$N(S)=${$x\in G\ |xSx^{-1}=S$ }を正規化群という.

巡回群

べき乗を一般化して,

• $a^n=a^{n-1}\cdot a$
• $a^{-n}=(a^{-1})^n$
• $a^0=e$
  とする. $\langle a \rangle=${$a^n |n\in \mathbb{N}$ }　を$a$で生成される巡回群という. $\langle a \rangle$の位数を$a$の位数といい, $ord(a)$と書く. 位数が$n$の巡回群を$C_n$とも書く.

対称群

$n$を自然数とし,$1$から$n$までの自然数の集合を$\Omega$とする.このとき$\Omega$から$\Omega$の全単射な写像の集合を$S_n$という. $S_n$は写像の合成を演算として群となりこれを対称群という.位数は$n!$.

2面体群

3以上の自然数$n$に対し正n多角形を正n多角形にに移す変換全体の集合を$D_n$とする.$\frac{2\pi}{n}$回転させる写像を$\sigma$,線対称に反転させる写像を$\tau$とすると
$D_n=\langle\sigma,\ \tau\ | \sigma^n=\tau^2=e,\ \sigma\tau\sigma=\tau \rangle$

演習問題

巡回群の部分群は巡回群であることを示せ.