始めに

皆さんは代数学を勉強したことがありますか？特に群論は他の数学の分野だけでなく、その対称性を利用して物理、化学の分野でも応用されており大学の講義でも学ぶことができます。しかし、抽象的な議論が多く証明を追うだけでもそれなりに難しいです。この記事では大学数学を学び始めの方向けに、群論のイメージを掴み比較的簡単な有限群の分類の証明ができるようになっていただくことが目標です。あくまで入門であり、難しい定理・命題の証明などを省いています。
(全４本の予定)

集合・写像

集合・写像は代数学の理論を構築していく上で重要な道具です。

集合の定義

ものの集まり.元(要素)は数や写像, 集合であってもよい.

写像の定義

与えられた2つの集合に対し一方の集合の元を他方の集合のただ１つ元に対応付ける規則. 特に $S$ を集合として,
$f:S×S\to S$
という写像 $f$ を2項演算という.

群の定義

空でない集合 $G$ が $G$ について閉じている2項演算 $・$ が与えられ,以下の3条件を満たすとき $G$ を群という.

(G1) 結合律

$^\forall a,\ b,\ c\in G,\ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

(G2) 単位元の存在

$^\exists e\in G,^\forall a\in G,\ e\cdot a=a\cdot e=a$
このとき $e$ を単位元という. 群を構成する台集合と演算が与えられたとき, 単位元は一つに定まる. 以降特に断りがない限り $e$ を単位元とする.

(G3) 逆元の存在

$^\forall a\in G,\ ^\exists b\in G,\ a\cdot b=b\cdot a=e$
このとき $b$ を $a$ の逆元といい, これは $G$ の元に対して1対１に対応するため $a^{-1}$ と書くことができる.

その他の用語

位数　群Gの元の数
有限群　位数が有限である群
無限群　位数が無限である群
可換群　交換律を満たす群

部分群の定義

群 $G$ の空でない部分集合 $H$ が $G$ の2項演算について群となるとき, $H$ を部分群という.
例えば整数の集合 $\mathbb{N}$ は加法に関して有理数の集合 $\mathbb{Q}$ の部分群である. 部分群の構造を考える事は元の群の構造を明らかにする上で重要である.

命題　部分群の判定

群Gの空でない部分集合 $H$ に対して以下の２条件は同値である.
(1) $H$ は $G$ の部分集合である.
(2) $a,\ b\in H\Rightarrow a^{-1}b\in H$

証明

$(1)\Rightarrow (2)$ は仮定から自明. $(2)\Rightarrow (1)$ を示す.
$H$ は空集合ではないから, $a\in H$ に対して
$e=a^{-1}a\in H$ (単位元の存在)
$a^{-1}=a^{-1}e\in H$ (逆元の存在)
$a,\ b\in H$ に対して $a^{-1},\ b\in H$ が存在し,
$ab=(a^{-1})^{-1}b\in H$ (演算の閉性)
よって命題が示された.